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과목:수학

19085 (토론 | 기여)님의 2022년 8월 31일 (수) 08:30 판 (→‎미적분학1(3))

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정의

수와 관련된 것을 다루는 모든 과목

학년 및 학기별 수업

괄호 안의 수는 학점을 의미한다.

1학년 1학기

수학1(3)과 수학2(3)를 배운다. 일반고의 수학1, 수학2와는 다른 자체 교재이니 주의하자. 기억이 안나네 수학1은 방정식, 다항식, 집합, 명제 등을 배우며, 수학2는 평면기하를 다룬다.

2019년 기준 중간고사 범위 기말고사 범위
수학 1 선생님 1 (2시수) 집합과 명제, 실수체, 복소수 다항식 방정식, 다항식 부등식 절대부등식[1]
선생님 2 (1시수) 방정식의 영역 부등식의 영역
수학 2 선생님 1 (2시수) 유리함수, 무리함수 지수함수, 로그함수
선생님 2 (1시수) 삼각함수 복소평면

1학년 2학기

수학3(3)와 수학4(3)를 배운다.

2019년 기준 중간고사 범위 기말고사 범위
수학 3 선생님 1 (2시수) 경우의 수, 확률 순열, 조합, 생성방정식
선생님 2 (1시수) 행렬의 정의, 연산, 연립일차방정식과의 연관성, 케일리-해밀턴 정리[2] 행렬과 일차변환, 행렬과 그래프[3]
수학 4 선생님 1 (2시수) 평면좌표, 벡터, 평면벡터 공간도형, 공간벡터
선생님 2 (1시수) 이차곡선(포물선, 타원) 이차곡선(타원, 쌍곡선)

2학년 1학기

미분과 적분(4)

일반고에서 배우는 미분과 적분에 대해서 배운다. 또한 캘큘러스 맛보기도 진행한다.

2020년 기준 중간고사 범위 기말고사 범위
선생님 1(2시수) 극한, 미분 미분
선생님 2(2시수) 적분 적분

2020년에는 Calculus(James Stewart) 교재를 사용하지 않고 선생님의 자체 프린트를 사용하였다.

2020년, shell method [math]\displaystyle{ \left( V= \int_{a}^{b} 2\pi xf(x) dx \right) }[/math]는 프린트에 있었고 수업 시간에 언급하셨으나 이를 이용하는 문제는 시험에 내지 않겠다고 하셨고 나오지 않음.

확률과 통계(2)

확률과 통계를 배운다.

2020년 기준으로 그 내용은 다음과 같다.

중간고사 범위 (확률) 기말고사 범위 (통계)
경우의 수, 순열, 조합 복습[4] 확률변수, 표본공간, 사건의 독립, 합의 법칙, 곱의 법칙, Kolmogorov의 확률의 공리적 정의[5] 이산확률변수, 연속확률변수, 확률변수의 기댓값과 분산, 중심극한정리[6], 표본평균과 표본표준편차, 모평균의 추정, 모분산의 추정, 귀무가설의 검증(수용/기각)

2학년 2학기

미적분학1(3)

Stewart가 지은 캘큘러스를 통해 본격적으로 배우는 미적분학이다. 이 과목을 수강해야 내년에 미적분학2를 들을 수 있다. AP과목이라 일주일에 4시간을 수업한다.

2020년 기준 중간고사 범위 기말고사 범위
선생님 1

(2시수)

9단원 미분방정식: 변수분리법, 상황에 대한 수학적 모델링[7]

10단원 매개변수와 극좌표: 극좌표로 표현되는 도형의 개형, 넓이, 곡선의 길이

11단원 수열과 급수: 수열의 극한, 단조수열정리[8], 급수의 절대수렴과 조건수렴, 급수의 수렴판정법(비교판정법, 근판정법, 비판정법, 교대급수 판정법)을 다룬다.[9]
선생님 2

(1시수)

5단원 평면의 넓이로서의 적분[10], 회전체의 부피(shell method)[11]

6단원 적분의 응용: 힘을 거리에 대하여 적분하여 일 구하기 등[12]

8단원 곡선의 길이, 회전체의 겉넓이
선생님 3

(1시수)

6단원 역함수, [math]\displaystyle{ \int_{1}^{x} \cfrac{1}{t} dt }[/math][13]를 통한 로그함수의 도입, 로그함수의 역함수로서의 지수함수, 역함수 정리, 역삼각함수와 그 도함수, 로피탈 정리와 증명[14] 6단원 쌍곡함수와 그 도함수

7단원 치환적분, 부분적분, 이상적분

2020년에는 Stewart calculus 8판을 사용하였으므로 위 표의 단원 번호 및 구성도 8판 기준이다.

선형대수학(3)

Howard Anton이 지은 Elementary Linear Algebra라는 책[15]으로 수업을 진행한다. 쉽게 말해 행렬과 벡터를 배운다고 볼 수 있다. 벡터는 더 이상 유향선분이 아니다 물리나 수학을 앞으로 배울 것이라면 들어보는 것도 나쁘지 않다. AP과목이라 일주일에 4시간을 수업한다.

어렵게 말해...

벡터는 벡터공간의 원소이며 벡터공간의 공리를 만족하면 무엇이든 벡터공간이 된다. 유한 차원 벡터공간은 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n} (n \in \mathbb{N}) }[/math]과 isomorphic하다(즉 선형인 일대일대응이 존재한다.).[16][17] 내적[18]은 inner product의 한 종류이다.[19][20] 이를 이용하면 벡터들의 직교(orthgonality)를 정의할 수 있다. n(유한)차원 벡터공간에서 n개의 일차독립인 벡터가 주어지면 그로부터 각각이 직교하고 각각의 크기(norm)가 1인 n개의 벡터를 만들 수 있는데 이러한 과정(알고리즘)을 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process)라고 한다.

행렬은 연립일차방정식의 해를 구하는 도구이자 일차변환이며 선형사상임을 알게 된다. 연립일차방정식의 행렬표현[math]\displaystyle{ A\bf{x}=\bf{b} }[/math]로부터, 우변[math]\displaystyle{ \bf{b} }[/math]를 행렬[math]\displaystyle{ A }[/math]의 열들의 일차결합으로 만들 수 없으면(즉 [math]\displaystyle{ \bf{b} }[/math] [math]\displaystyle{ \notin col(A) }[/math]라면) 해가 없음을 알 수 있다. [math]\displaystyle{ col(A) }[/math]가 벡터공간임은 당연해 보인다. 그렇다면 [math]\displaystyle{ col(A) }[/math]의 기저는 어떻게 찾을 수 있을까?[21] 한편 행렬을 이용하여 고윳값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)를 구할 수 있으며 이것은 대각화(diagonalization) 과정을 통해서 가능하다.[22] 이제 좌표 변환[23]된 도형의 방정식을 행렬을 이용해 구할 수 있음을 자연스럽게 알 수 있다. 그 외에 LU 분해, QR 분해를 다룬다. 특이값 분해(SVD; singular value decomposition), 스펙트랄 분해 (spectral decomposition)[24]는 2020년에는 시간 관계상 다루지 않았다.

3학년 1학기

수학세미나(3)

세미나라고 하면 무엇을 공부하는지 감이 잡히지 않지만 그동안 배운 고등학교 수학을 다시 복습한다고 보면 된다.배운 내용이라고 설명은 잘 안해줌대학 면접 대비를 할 때 많은 도움이 되니 듣는 것을 추천한다.

정수론(3)

David.M Burton의 정수론 번역판을 바탕으로 수업을 진행한다. 수학에 관심있는 사람이 아니라면 딱히 들을 이유가 없는 과목이기도 하다. 2022년에는 무려 수강자가 19명으로 상대평가가 될 뻔하기도 했다.

미적분학2(3)

미적분학1에 이어서 배우는 AP과목이다. 물론 미적분학1만 들어도 상관없다. 다변수 미적분학에 관련된 내용을 주로 배운다. AP과목이라 항상 상대평가라는 점을 생각해두면 돔황챠 2022년에 듣는 인원은 20명 가량이었다...

3학년 2학기

수학세미나2(3)

자율설계

조합수학(3)

2019년[25], 2020년 2학기에 2학년을 대상으로 개설되었다.

2020년에는 첸추앙총의 <<조합의 원리와 기법>>을 교재로 사용하였다.

논증기하학(3)

2019년 1학기에 3학년을 대상으로 개설되었다.

자체개발 교재를 사용하였다.

고급해석학(3)

2020년 1학기에 3학년을 대상으로 개설되었다.

정동명, 조승제의 <<실해석학 개론>>을 교재로 사용하였다.

미분방정식 입문(3)

2019년, 2020년, 2021년, 2022년 1학기에 3학년을 대상으로 개설되었다.

미분방정식을 푸는 다양한 방법들을 익힐 수 있다.

상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 풀이를 배운다. 해의 존재성과 유일성에 대해서는 다루지 않으며 변수분리법, 베르누이 방법, 미분연산자를 사용하는 방법[26], 특수해와 일반해 구하기, 급수 방법[27], 라플라스 변환을 다룬다.

2019, 2021년에는 Dennis G. Zill의 <<미분방정식 입문>>을 교재로 사용하였다.

2020년에는 자체개발 교재를 사용하였다.

대수학과 기하학(3)

2021년, 2022년 2학기에 2학년을 대상으로 개설되었다.

2021년에 개설되었던 과목이다. 이 과목을 수강하면 진짜 군론을 배울 수 있다.제목에 기하학이 있듯이 공간벡터, 이차곡선등을 배운다는 점이 함정

2022년에도 개설되었다!

강의실 위치

교사들은 주로 3층에 있는 교무실에 계신다. 안타깝지만 다른 과목들과 달리 수학실이라고 불릴만한 곳은 없다.

309 강의실

교실 2개를 합쳐놓은 크기의 꽤 큰 강의실이며 수학 수업만 여기서 했기 때문에 수학실이라고 불리는 교실이다. 보통 수학 알앤이는 반에서 진행하지만 여기서도 알앤이를 할 수 있다. 그리고 3층 구름다리(학습동과 본관동을 잇는 3층 통로로, 2021년 여름방학에 편의를 위해 생겼다.)를 위해 사라졌다.[28]

여담

  1. ↑ 수업은 하지 않으시고 학기가 끝난 후 자료를 배포하셨다.
  2. ↑ 수학 3에서는 [math]\displaystyle{ 2\times2 }[/math] 행렬만 다룬다. 즉 [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] 행렬에서 성립하는 이론(케일리-해밀턴 정리, 일차변환 등)도 [math]\displaystyle{ 2\times2 }[/math] 행렬에서만 적용시켜 설명한다.
  3. ↑ 이건 빼겠다고 하셨고 수업하지 않음.
  4. ↑ 원래 확률과 통계에서 다루는 내용은 아니며, 코로나 19로 일시적으로 비대면 수업을 하는 기간에 배포한 자료이다.
  5. ↑ 실제로는 연습문제 중 하나로 소개되었다. 사실 확률론은 측도론과 연관되며 실해석학의 분과 학문이라는 점에서 떡밥 던지기였던 것.
  6. ↑ 언급만 한다
  7. ↑ 소금물 문제가 대표적이며 어려운 문제로 고양이를 쫓는 개의 자취(tractrix, 추적선), 눈이 오는 날 눈을 치우는 기계 등이 교재에 수록되어 있다.
  8. ↑ Monotone Sequence Theroem. 흔히 단조수렴정리로 알려져 있는데 구글 검색 결과 Monotone Convergence Theorem이 같은 뜻으로 쓰이기도 하나 다른 뜻으로 더 많이 쓰이는 것으로 보인다. 스튜어트 교재(8판)에는 Monotone Sequence Theorem이라고 나와 있었다.
  9. ↑ 디리클레 판정법, 아벨 판정법 등은 다루지 않음.
  10. ↑ 상합, 하합 등 리만적분의 개념도 곁가지로 소개하지만 중요하게 다루지는 않으며 시험과 관계없다.
  11. ↑ 이 수업에서는 '두루마리 휴지의 비유'가 두루 회자되었다.
  12. ↑ 선생님이 물리를 잘 몰라 문제를 못 낸다고 하심
  13. ↑ x>0
  14. ↑ 책에 나와 있는 부분(실력정석에도 나와 있는 부분)만 다룬다. 일반적인 경우의 증명은 해석개론(수학과에서 선형대수학과 함께 처음으로 다루는 전공 과목)에서 다룬다.
  15. ↑ 2020년 초에 12판이 나왔다.
  16. ↑ 자연스러운 질문: 무한 차원 공간은 어떤가?
  17. ↑ 참고로 물론 [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math]는 모든 자연수(유한) n에 대해서만 다룬다는 뜻이다. '무한'은 수도 아니고 자연수 집합의 원소도 아니다. 무한대가 어떻게 정의되거나 쓰이는지는 스튜어트 미적분학 교재나 구글을 찾아보자.
  18. ↑ Euclidean inner product, dot product
  19. ↑ 거꾸로 inner product를 내적의 확장으로 이해할 수도 있다.
  20. ↑ inner product란 벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]와 체 [math]\displaystyle{ F }[/math]에 대해 주어지는 이항연산 [math]\displaystyle{ \lt \cdot , \cdot \gt  : V \times V \to F }[/math]이다.
  21. ↑ 행렬의 열들의 일차독립 관계는 기초행연산(elementary row operation, 결국 방정식끼리 연립하는 과정을 일컫는 것임)을 거쳐도 변하지 않을까? [math]\displaystyle{ row(A) }[/math](행들의 일차결합으로 만들 수 있는 공간)는 어떨까?
  22. ↑ 그런데 모든 행렬이 대각화 가능한 것일까?
  23. ↑ 물론 일차변환
  24. ↑ 혹자는 '무지개 분해'라고 번역하기도 한다.
  25. ↑ 이때 과목명은 '조합론'이었다.
  26. ↑ 미분연산자는 선형연산자라서 '인수분해'할 수 있다! 이는 수열의 점화식으로부터 일반해를 찾는 과정과 유사하다.
  27. ↑ 해석적인(analytic) 해를 구하는 방법이다.
  28. ↑ 본래 가우스 동아리활동을 이 강의실에서 진행하였기에 가우스 소거법이라고도 불렸다.